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In questo articolo diamo condizioni necessarie e sufficienti per la controllabilità approssimativa del seguente sistema di equazioni paraboliche con ritardo: u0026 lt; img height = border '96' = '0' style = 'vertical-align: bottom' width = '276' alt = 'Visualizza la fonte MathML' title = 'Visualizza la fonte MathML' src='http://origin-ars.els-cdn.com/content/image/1-s2.0-S0022247X08004423-si1.gif'u0026gt;{∂z(t,x)∂t=DΔz+Lzt+Bu(t,x),t∈(0,r],∂z∂η=0,x∈∂Ω,t∈(0,r],z(0,x)=ϕ0(x),x∈Ω,z(s,x)=ϕ(s,x),s∈[−τ,0),x∈Ω, dove Ω u0026 nbsp; è un dominio limitato in rnrn, D u0026 nbsp; è una n × × n matrice nn nondiagonal i cui autovalori sono semi-semplice con parte reale non negativo, il controllo u∈L2 ([0, r]; U) = L2 ([0, r], L2 (Ω, Rm)) u∈L2 ([0, r]; U) = L2 ([0, r], L2 (Ω, Rm)) e B∈L (U, Z) B∈L (U, Z) con U = L2 ( Ω, Rm) U = L2 (Ω, Rm), Z = L2 (Ω; Rn) Z = L2 (Ω; Rn). Il zt notazione standard (x) zt (x) definisce una funzione da [-τ, 0] [- τ, 0] per rnrn (con x u0026 nbsp; fisso) da zt (x) (s) = z (t + s , x) zt (x) (s) = z (t + s, x), -τ⩽s⩽0-τ⩽s⩽0. Qui τ⩾0τ⩾0 è il ritardo massimo, che dovrebbe essere finito. Partiamo dal presupposto che l'operatore u0026 lt; img height Felpe con cappuccio Abercrombie Donne Zip Profondità Grigio Rosso = border '16' = '0' style = 'vertical-align: bottom' width = '132' title alt = 'Visualizza la fonte MathML' = 'Visualizza i sorgenti MathML' src='http://origin-ars.els-cdn.com/content/image/1-s2.0-S0022247X08004423-si14.gif'u0026gt;L:L2([−τ,0];Z)→Z è lineare e limitato, e φ0∈Zφ0∈Z, φ∈L2 ([- τ, 0]; Z) φ∈L2 ([- τ, 0]; Z). A tal fine: In primo luogo, abbiamo riformulare questo sistema in un ritardo di un'equazione di primo ordine standard. In secondo luogo, il semigruppo associato al ritardo equazione del primo ordine su uno spazio prodotto adatto è espresso come una serie di fortemente continui semigruppi e proiezioni ortogonali connessi con gli autovalori del Laplaciano (u0026 lt; img height = confine '20' = '0 'style =' vertical-align: bottom 'width =' 'alt =' 54 Visualizza la fonte MathML 'title =' Visualizza la fonte MathML ' src='http://origin-ars.els-cdn.com/content/image/1-s2.0-S0022247X08004423-si17.gif'u0026gt;A=−∂∂2); questa rappresentazione ci permette di ridurre la controllabilità di questa equazione alle derivate parziali con ritardo ad una famiglia di equazioni ordinarie di ritardo. Infine, si usa il ben noto risultato Maglione Cardigan A&Fitch Uomo Button Badge Scuro Grigio sulla condizione di rango per la controllabilità approssimativa del sistema di ritardo per ricavare il nostro risultato principale.
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